06wk: 측도론 (2)
강의영상
youtube: https://youtube.com/playlist?list=PLQqh36zP38-y2r-mEbWKnTAC_8CN5HcGo
예비학습
약한조건, 약한정리, 강한조건, 강한정리
-
정리: 어떠한 조건을 만족하면, 어떠한 결론이 나온다.
- 결론: 우리가 원하는 것.
- 조건: 우리가 원하는 것을 얻기 위한 고난과정.
-
결론이 동일하다면 조건이 약할 수록 유리하다.
- 정리1: 수업에 온라인으로 참석하거나 오프라인으로 참석한다면 모두 출석으로 인정한다.
- 정리2: 수업에 오프라인으로 참석할때만 출석으로 인정한다.
정리2의 조건이 만족되면 정리1의 조건은 자동으로 만족된다. 따라서 정리2의 조건이 더 강한 조건이다. 조건이 강할수록 불리하므로 정리2가 더 불리하다.
-
조건이 동일하다면 결론이 강한 쪽이 유리하다.
- 정리1: 중간고사와 기말고사를 모두 응시한다면, B학점 이상이다.
- 정리2: 중간고사와 기말고사를 모두 응시한다면, A학점 이상이다.
정리2의 결론이 만족되면 정리1의 결론은 자동으로 만족되므로 정리2의 결론이 더 강하다. 결론은 강할수록 유리하므로 정리2가 더 유리하다.
쓸모없는 측도
-
세상엔 측도의 정의를 만족하지만 쓸모 없는 측도가 있다.
- 예시1:
의 모든 원소의 메져값은 0이다. - 예시2:
의 모든 원소의 메져값은 무한대이다.
-
예시2와 같은 측도를 고려하고 싶지 않음
쓸모없는 가측공간
-
세상엔 쓸모없는 잴 수 없는 공간이 있다. (유의미한 측도를 주는게 불가능한 잴 수 있는 공간)
- 예시1:
- 예시2:
일때 (르벡메져로 측정불가능함, 모든 원소의 메져를 0으로 잡으면 무모순으로 길이를 정의할 수는 있겠으나 무슨의미?)
-
예시2와 같은
유한측도, 시그마유한측도
-
, 이면 을 유한측도라고 한다.1 such that (1) (2) 이면 을 시그마유한측도라고 한다.
1 사실 그냥
2
-
NOTE: 모든 확률측도는 유한측도이다. 모든 유한측도는 시그마유한측도이다.2
- 확률측도라는 것은 매우 강한 조건임
- 시그마유한측도라는 것은 확률측도보다 훨씬 약한 조건임
-
직관: 제 생각일 뿐이어요..
- 세상엔 측도의 정의는 만족하지만 쓸모없는 측도가 있다. (모든 원소를 쟀더니 0이더라, 모든 원소를 쟀더니 무한대더라)
- 그래서 모든 원소값에 무한대를 주는 측도는 인정하고 싶은 마음이 별로 없음. (하지만 측도의 정의는 만족)
- 그래서 그냥 유한측도만 생각하기로 했는데…
-
유한측도는 아니지만 시그마유한측도의 정의를 만족하는 경우 (엄청 중요해 보이는 예제들이 시그마유한측도잖아?)
- 르벡메져
- 카운팅메져:
is counting msr on iff
-
시그마유한측도의 느낌: 전체집합을 카운터블 유니온으로 커버하는 메져유한인 집합열이 1개만 있으면 된다.
(기억해둘만한 예시)
집합열1
집합열2
집합열1와 집합열2는
(1)
,(2)
(1)
,(2)
를 만족한다. 즉 집합열1은 전체집합을 카운터블 유니온으로 커버하지만 메져유한은 아니고, 집합열2는 전제집합을 카운터블 유니온으로 커버하고 메져유한이다. 집합열2의 존재로 인하여
확률공간
-
-
-
는 에 대한 시그마필드이며, 는 에서의 확률측도임이 내포되어 있다.
-
교재의 언급 (p1) – 초록색부분
시그마유한측도공간
-
-
는 에 대한 시그마필드이며, 는 에서의 시그마유한측도임이 내포되어 있다.
Generating -field
state
-
Thm (귀찮아서 만든 이론1): 모든
- 그리고 당연히
smallest
조건에 의에서 유일성이 보장됨
증명을 위한 준비학습
-
이론: (
가 모두 시그마필드라면, 역시 시그마필드이다.
(증명)
편의상
만 보이면 된다. (이럴때는 전체집합 조건하나를 빼는게 유리하다)
1번체크
2번체크
증명
-
Thm (귀찮아서 만든 이론1): 모든
- 그리고 당연히
smallest
조건에 의해 유일성이 보장됨
(증명)
- 시그마필드의 교집합은 시그마필드이므로
는 시그마필드이다. - 교집합을 하면 할수록 집합은 작아지므로
는 위에서 구한 시그마필드중에서 가장 작다. 는 를 포함한다.
따라서
-
아래는 교재의 언급 (p3)
Dynkin’s - theorem
state
-
Thm: 딘킨의
증명을 위한 준비학습
-
이론: 임의의 인덱스 집합
가 모두 시그마필드라면, 역시 시그마필드이다. 가 모두 시그마링, 역시 시그마링이다. 가 모두 알지브라라면, 역시 알지브라이다. 가 모두 링이라면, 역시 링이다. 가 모두 람다시스템이라면, 역시 람다시스템이다.
세미알지브라, 세미링, 파이시스템은 성립안함.
-
예제1: 아래를 고려하자.
이 예제에서
세미알지브라
를세미링
으로 바꾸고 읽어도 성립함.
-
예제2: 아래를 고려하자.
-
이론: 임의의
를 포함하는 가장 작은 시그마필드, 를 포함하는 가장 작은 시그마링 를 포함하는 가장 작은 알지브라 를 포함하는 가장 작은 링 를 포함하는 가장 작은 람다시스템,
-
참고: “
-
예제3: 아래를 고려하자.
이때
라고 주장할 수는 없음. 왜냐하면
역시
-
이론:
를 포함하는 가장 작은 시그마필드는 그 자체로 파이시스템이다. (즉 는 파이시스템이다) 를 포함하는 가장 작은 시그마링은 그 자체로 파이시스템이다. 를 포함하는 가장 작은 알지브라는 그 자체로 파이시스템이다. 를 포함하는 가장 작은 링은 그 자체로 파이시스템이다. 를 포함하는 가장 작은 람다시스템은 그 자체로 파이시스템이다?? (즉 는 파이시스템이다?)
-
1-4는 자명한데, 5는 자명하지 않다. 하지만 성립한다. (5의 증명은 복잡함. 그냥 암기하자.)
-
이론:
(증명) 아래의 표를 살펴보면 간단하게 증명가능하다.
증명
(증명)
“
3 직접 만들어봐, 시그마필드가 당연히 조건이 더 복잡하므로 이거저것 추가할 것이 많음
“
- 파이시스템
를 포함하는 가장 작은 람다시스템 은 그 자체로 파이시스템이다. 가 람다시스템이다. ( 는 시그마필드이다. 는 파이시스템이다.)
-
생각의 시간
- 시그마필드(=잴 수 있는 집합의 모임)을 만들기 위해서는, 그 모임(=collection)이 파이시스템이면서 동시에 람다시스템임을 보이면 된다.
- 딘킨의 정리는 적당한 파이시스템을 만들고 그것을 통하여 잴 수 있는 집합의 모임을 확률의 공리에 맞게만 설정한다면, 그것이 시그마필드가 된다는 것을 보이는 것이다.
-
제 생각
- 메져가 “선분의 길이”를 일반화 하는 개념이라 생각한다면 파이시스템에서 시작하여 시그마필드로 확장하는 것이 자연스럽다.
- 메져가 “확률”을 일반화하는 개념이라 생각한다면 람다시스템에서 시작하는게 자연스럽다.4
- 딘킨의
정리는 두 흐름을 합치는 정리이다.
4 딘킨도 이렇게 생각하지 않았을까
딘킨의 정리 ver2.
-
이론: 딘킨의
(설명)
Durret에 나온 딘킨의
5 솔직히 그렇게 안자명해
ver2가 ver1를 임플라이 하는 이유: ver1의
은 당연하고 만 보이면 되는데, 이미 임을 보였으므로 의 정의에 의하여 이 성립한다.
-
교재의 언급 (p 456)
파이시스템에서의 확장이론 (확률버전)
state
-
귀찮아서 만든 이론2: 운이 좋다면,
-
귀찮아서 만든 이론2는 (1) 업그레이드가 가능하냐 (2) 그 업그레이드가 유일하냐 를 따져야하는데 이중 유일성만을 따져보자.
-
Thm:
가 파이시스템이라면, 에서는 agree하지만 에서는 agree하지 않는 확률측도 는 존재할 수 없다는 의미이다.
활용예제 ( )
-
아래의 이론을 이해하기 위한 예제들을 살펴보자.
이론:
를 확률공간이라고 하자. 여기에서 는 파이시스템이라고 가정하자. 그렇다면 확률측도 의 값은 의 값에 의하여 유일하게 결정된다.
(예제1) – 4주차에서 했던 예제에요
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-
-
아래표의 왼쪽의
즉
-
이 이론에 대한 짧은 생각
- 생각1: 일단
에서의 확률측도 의 존재성은 가정하고 들어간다. 즉 “존재한다면 유일하다”는 의미이지, “유일하게 존재한다”의 의미는 아니다. - 생각2: 따라서 이 정리는 “
가 파이시스템일 경우, 함수 가 에서의 확률측도 로 업그레이드가 가능하다면 그 결과는 유일하다” 정도로 해석할 수 있다.
(예제2) – 이것도 4주차에서 했던 예제입니다.
-
-
여기에서
-
만약에 이 예제에서
이번에는
(예제3)
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-
여기에서
6 그래도 유일하게 결정되니까
(예제4) – 통계학과라서 행복해
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-
여기에서
-
가측공간
-
그렇지만 가측공간
7 그렇지만 우리가 알바는 아님
증명
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아래의 이론에 대한 증명
Thm:
를 확률공간이라고 하자. 여기에서 는 파이시스템이라고 가정하자. 그렇다면 확률측도 의 값은 의 값에 의하여 유일하게 결정된다.
증명 (확률측도라는 가정을 추가하여 교재의 버전을 살짝 쉽게 만듬)
LET
는 잴 수 있는 공간임. 는 에서의 확률측도임. 는 “ ”를 만족함.
전략: 잴 수 있는 공간
LET:
ISTST:
ISTST:
ISTST: (1)
ISTST:
NOTE: IF (1)
ISTST: (1)
ISTST: 1.
CHECK 1:
CHECK 2:
CHECK 3:
-
보충노트